مساحة الدائرة

الدائرة (بالانكليزية: Circle) هي شكل بسيط في الهندسة الاقليدية. وتعرف بانها المحل الهندسي للنقاطالمتصلة ببعضها
البعض والواقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، والتي تسمى مركز
الدائرة. المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة واي نقطة منها تسمى شعاعا او نصف قطر.

الدوائر هي منحنيات بسيطة مغلقة تقسم المستوى الى جزئين : داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي،
قد يستعمل مصطلح دائرة للاشارة الى محيط الدائرة، وقد يستعمل للاشارة الى ما يوجد بداخل
الدائرة، ولكن بمعنى ادق، فان الدائرة هي المحيط فقط. اما مايوجد في الداخل، فهو قرص.

الدائرة هي حالة خاصة من الاهليلج حيث تنطبق بؤرتا الاهليلج مع مركز الدائرة. الدائرة هي
قطع مخروطي يحصل عليه عندما يتقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محور هذا المخروط.

مصطلحات[عدل]

وتر وخط قاطع للقوس ومماس وقطر وشعاع.

قوس وقطاع وقطعة
نصف قطر الدائرة (قد يسمى شعاعها) هو الخط المستقيم الواصل بين المركز واي نقطة من
الدائرة. اما القطر فهو وتر الدائرة المار من المركز وهو اطول اوتار الدائرة.
قطر الدائرة هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين من على سطح الدائرة وتمر بمركز الدائرة.
وهو اكبر مسافة بين نقطتين اثنتين ما، تقعان على الدائرة. طول القطر هو ضعف طول
الشعاع.
القوس هو جزء متصل من الدائرة.
القطاع هو المساحة المحبوسة بين شعاعين والقوس الذي يصل هذين الشعاعين.
الزاوية المركزية للدائرة هي الزاوية الذي يقع راسها في مركز الدائرة.
الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع راسها على الدائرة ويكون ضلعاها وترين في الدائرة.
الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه.
الزاويتان المحيطيتان المرسومتان على قوس واحد في الدائرة متساويتان.
الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة تساوي تسعين درجة.
وتر دائرة هو اي قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين ما تنتميان الى الدائرة. القطر هو
اكبر وتر في الدائرة. مماس الدائرة هو مستقيم يمس (او يتقاطع مع) الدائرة في نقطة
وحيدة، بينما المستقيم القاطع للدائرة هو امتداد للوتر حيت يتقاطع معها في نقطتين اثنتين.
مركز الدائرة هو النقطة الثابتة المذكورة في التعريف اعلاه وهي تقع في منتصف الدائرة بالضبط
وعادة مايرمز اليه بالرمز (م) نسبة الى كلمة مركز.
مماس الدائرة هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط.
التاريخ[عدل] بعض من الاعوام المهمة في تاريخ الدائرة :
في عام 1700 قبل الميلاد، اعطت ورقة قديمة تعود الى ذلك الزمان طريقة تمكن من
ايجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π و هي 256 / 81
(اي 3.16049…) .[1] في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب اصول اقليدس
عن خصائص الدوائر.
في الرسالة السابعة لافلاطون، هناك تعريف وشرح للدائرة.
في عام 1880، اثبت فيردينوند فون ليندمان ان π عدد متسام، ليحل وبشكل نهائي المعضلة
المطروحة منذ الاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة

نتائج تحليلية[عدل]

محيط الدائرة[عدل]

للمزيد من المعلومات، انظر الى بي.

عندما حاول العلماء القدامى، وعلى راسهم غياث الدين الكاشي، اكتشاف قانون محيط الدائرة احضروا دائرة
مصنوعة من الخيط ثم فكوها وقاسوا الحبل فقالوا ان محيط الدائرة هو طول قطعة الخيط
المفكوكة. وعند اعادة نفس العملية على دوائر اخرى، لوحظ ان النسبة بين محيط الدائرة (طول
قطعة الخيط المفكوكة) على القطر ثابتة. اي باختصار، قسمة المحيط على قطر الدائرة يساوي نفس
الناتج رغم اختلاف الدوائر ومحيطاتها وكانت النسبة تساوي تقريبا 3.141592654.وقد سميت تلك النسبة ط بالعربية[بحاجة لمصدر] و π (باي) باللاتينية وقد وضحوا انه عندما يكون قطر دائرة مساويا ل1،
يكون محيطها مساويا ل π. محيط الدائرة يساوي طول القطر x ط (π). هذه النسبة
(ط) التي هي بين المحيط وطول القطر ثابتة لاتتغير.

عندما يكون قطر دائرة مساويا ل1، يكون محيطها مساويا ل π

مثال على محيط الدائرة

محيط دائرة قطرها 7 سم = ط × طول القطر ≈ 7/22 × 7 ≈
22 سم.

مساحة الدائرة[عدل]

مساحة الدائرة تساوي :× مساحة المربع الملون

كيف عرفوا المساحة دون اضلاع.

احضروا دائرة من قطع ورق مقوى وقسموها الى 8 اجزاء وقاموا لصق الاجزاء على صورة
مستطيل بحيث يكون قطاع قوسه اعلى واخر ملصوق به قوسه لاسفل وعندما قاسوا مساحة المستطيل
وجدوا ان الطول يساوي نصف محيط الدائرة والعرض يساوي نصف القطر اي مساحة الدائرة =
مساحة المستطيل المصنوع منها.

ومنه نجد ان مساحة الدائرة = نصف المحيط × نصف طول القطر (نق).

ولوضع هذا قانون بدلالة نصف القطر (نق)، نستطيع استخدام قانون (محيط الدائرة=ط × القطر).

وبالتعويض في قانون المساحة نجد:

مساحة الدائرة = 1/2(ط × القطر) × نق

نقوم بضرب ال1/2 بما داخل القوسين، فنحصل على

مساحة الدائرة = ط × 1/2القطر × نق

مساحة الدائرة = ط × نق × نق = ط × نق تربيع.

اي ما يقارب 22/7 او 3.14 × القوة الثانية لطول نصف القطر (نصف القطر ×
نصف القطر).

مثال على مساحة الدائرة

مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 سم = ط × نق تربيع ≈ 3.14 ×
10 × 10 ≈ 314 سم2.

الدائرة هي المنحنى المستوي الذي يضم المساحة القصوى (اكبر مساحة) عندما يكون طول هذا المنحنى
معروفا. هذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيراتوبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت.

معادلات[عدل]

الاحداثيات الديكارتية[عدل]

دائرة شعاعها r = 1، ومركزها (a, b) المساوي ل

في النظام الاحداثي الديكارتي، الدائرة ذات المركز الذي احداثياته هي (a، b) وشعاعها هو r،
هي مجموعة النقط (x، y) حيث :

هذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عندما تطبق على اي نقطة تنتمي الى الدائرة، كما
يبين الشكل يساره. الشعاع هو وتر المثلث و المسافتان x – a و y –
b هما طولا الضلعين الاخرين في المثلث قائم الزاوية. اذا كان مركز الدائرة هو مركز
المعلم، فان هذه المعادلة تصير اكثر بساطة كما يلي :

يمكن ان تكتب هذه المعادلة على شكل معادلة وسيطية (قد يطلق عليها اسم معادلة بارامترية)
باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام:

حيث t وسيط تتغير قيمته بين العددين 0 و 2π. هندسيا، يمثل هذا الوسيط الزاوية
التي يكونها الشعاع المار من النقطتين (a,b) و (x,y) مع محور الافاصيل. المعادلة الوسيطية التالية
تمثل ايضا دائرة:

الاحداثيات القطبية[عدل]

في النظام الاحداثي القطبي، معادلة دائرة هي كما يلي:

حيث a هي شعاع الدائرة وهي الاحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة وهي الاحداثية القطبية لمركز الدائرة.

المستوى العقدي[عدل]

في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة. وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي :.